Unendlichkeitsbeweis der Primzahlen - 08.04.2006

Den ersten Beweis für die These, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, lieferte schon Euklid von Alexandria (* ca. 365 v. Chr.; † 300 v. Chr.) mit seinem Widerspruchsbeweis, der heute als Satz von Euklid² bekannt ist und aussagt, dass ausgehend von der Annahme, dass es nur endlich viele Primzahlen gibt, die Zahl die durch die Multiplikation aller dieser Primzahlen entsteht und um 1 erhöht wird, teilerfremd zu allen genannten Primzahlen ist (da bei der Division stehts ein Rest von 1 bleibt) und somit selbst eine Primzahl ist, oder aber einen neuen Primteiler besitzt, der noch nicht unter genannten Primzahlen war. Somit bewies er, dass es immer eine noch größere Primzahl gibt und ihre Anzahl letztendlich unendlich ist.

Über die Zeit gab es natürlich weitere Beweise, die ich aber nicht weiter ausführen möchte.

Statt dessen möchte ich meinen Gedankengang erläutern, der einen eigenen und, so will ich meinen, neuen Beweis darstellt.

Nehmen wir an, es gibt nur endlich viele Primzahlen. Wie viele und welche es sind, spielt keine Rolle. Wir nehmen einfach mal die ersten 4. Also die Menge P aller Primzahlen und ihre Anzahl m ist: 


P = {2,3,5,7}
m = 4


Desweiteren ist durch den Fundamentalsatz der Arithmetik³ bewiesen, dass sich jede natürliche Zahl, die keine Primzahl ist, in mindestens 2 Primfaktoren zerlegen lässt. 


Beispiel: 
n = 30
n = 2*3*5


Diese Zerlegung ist für jede Zahl eindeutig; nur die Stellung der einzelnen Primfaktoren kann variieren, was aber für das Produkt keine Rolle spielt.

Hier setzt nun mein Beweis an. Da sich jede natürliche Zahl eindeutig in Primfaktoren zerlegen lässt, gibt es bei einer endlichen Anzahl von Primzahlen auch nur eine eingeschränkte Anzahl an möglichen Kombinationen von Faktoren. Bei nur einem Primfaktor gibt es dann nur 4 Zahlen:


n1 = 2
n2 = 3
n3 = 5
n4 = 7

Es handelt sich um eine Kombination von 1 Element zur 4. Klasse, wobei jedes Element in einer Variation beliebig oft vorkommen kann. Die Anzahl der Möglichkeiten ermittelt man dann über


Wobei m=4 und k=1 ist und die Klammern übereinander jeweils eine einzige große Klammer darstellen sollen.
Diese Kombination gibt die Möglichkeiten an, wenn wir von den 4 vorhandenen Primzahlen nur eine Anordnen. Dies sind verständlicherweise 4 Möglichkeiten (n1-n4, siehe oben).

Ordnen wir 2 Zahlen an ergeben sich


Bei 3 Zahlen dementsprechend


Und bei 4 schließlich

Zusammengefasst gibt es also 4+10+20+35 = 69 Möglichkeiten, wenn wir eine Zahl bilden wollen, die Maximal 4 Primfaktoren aus unserer Menge P hat. Somit könnten wir nur 69 natürliche Zahlen bilden und hätten bewiesen, dass es mehr Primzahlen geben muss, da es schließlich auch mehr natürliche Zahlen gibt. Doch so einfach ist es nicht. Denn aus diesen 4 Primzahlen können wir ja auch Zahlen bilden, bei denen ein einzelner Faktor mehrfach vorkommt. 


Beispiel:
nx = 2*2*2*2*2*2 = 2^6 = 64
ny = 2*2*2*2*3*3*3*3 = 2^4 * 3^4 = 1296
usw.

Über diese Art der Bildung von Zahlen, lassen sich natürlich unendlich viele Produkte bilden (da ja die 4 Primzahlen beliebig oft miteinander multipliziert werden können), die beliebig große natürliche Zahlen ausbilden. Das Problem ist nun, dass dabei Lücken auftauchen können. Da die Länge einer Produktkette dabei keine Rolle spielt (es müsste ja gekürzt werden), können wir eine beliebig lange Kette betrachten. Nehmen wir eine 6-Gliedrige Kette: 


n1 = 2*2*2*2*2*2 = 2^6 = 64
n2 = 2*2*2*2*2*3 = 2^5 * 3 = 96

n1 bildet hierbei die kleinste Zahl die wir auf diese Art bilden können (da 2 die kleinste Primzahl ist). n2 ist dann die zweitkleinste Zahl mit 6 Primfaktoren. Wie wir sehen ist n2 != n1+1 , das heißt zwischen n1 und n2 gibt es eine Lücke die sich mit den vorhandenen Primfaktoren- kombinationen nicht vollkommen schließen lässt. Zahlen mit mehr Faktoren können diese Lücken nicht schließen, da sie wenigstens


n3 = 2*2*2*2*2*2*2 =  2^7 = 128

groß sind und damit außerhalb des Bereiches liegen. Und bei allen Produktvarianten mit weniger als 6 Faktoren gibt es nicht genug freie Möglichkeiten, um die Lücke vollständig zu schließen. Dies wird klar, wenn man sich anschaut, wie viele Kombinationen mit 5 Faktoren möglich sind.


Mit den zuvor berechneten 69 Möglichkeiten für kürzere Ketten erhalten wir also 56+69=125 Möglichkeiten. Nun gibt es aber nur einen beschränkten Bereich von Kombinationen, die kleiner sind als 96. Die 7 als Faktor darf nicht auftreten, denn 


2*2*2*2*7 = 112 > 96

Also wird es jede Kombination die eine oder mehr 7 enthält, zu groß sein. Somit handelt es sich bei der Ermittlung der möglichen Kombinationen nicht um eine Kombination von 4 Elementen zur 5. Klasse, sondern nur um eine von 3 Elementen zur 5. Klasse (denn wir haben durch Wegfall der 7 nur noch 3 verwendbare Primzahlen - 2,3,5).


Es bleiben letztendlich also nurnoch 69+21=90 Möglichkeiten. Diese Zahl würde sich aber noch deutlich verringern, da auch bei den anderen Faktoren 5 und 3 nur eine begrenzte Anzahl von Kombinationen innerhalb des betrachteten Zahlenraumes liegt. 


Bsp: 
2*2*2*5*5 = 200 > 96 
2*2*3*3*3 = 108 > 96

Doch auch wenn man das außer acht lässt, kann man mit diesen 90 Möglichkeiten nicht die 96 Zahlen lückenlos erzeugen. Es muss also weitere Primzahlen geben, die nicht in unser zuvor festgelegten Menge P auftauchten.

Dies lässt sich empirisch zeigen: 


Bsp: 
65 = 5*13
66 = 2*3*11
67 = 67
68 = 2*2*17
69 = 3*23
71 = 71
73 = 73
74 = 2*37
76 = 2*2*19
usw.

Verallgemeinert lässt sich also formulieren, dass sich bei allen möglichen Produktvarianten, die durch eine endliche Menge verschiedener Primfaktoren gebildet werden, Lücken bilden, die nur durch Primfaktoren oder Primfaktorenkombinationen gefüllt werden können, die außerhalb der zuvor festgelegten Menge liegen, womit bewiesen wäre, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.


Quod erat demonstrandum.

Weiterführende Links:
2 - Satz von Euklid
3 - Fundamentalsatz der Arithmetik


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